安德雷·柯爾莫哥洛夫（俄國數學家）

安德雷·柯爾莫哥洛夫（俄語：Андре?й Никола?евич Колмого?ров?，1903年4月25日-1987年10月20日），俄國數學家，主要在概率論、算法信息論和拓撲學方面做出了重大貢獻，最為人所稱道的是對概率論公理化所作出的貢獻。他曾說：“概率論作為數學學科，可以而且應該從公理開始建設，和幾何、代數的路一樣。“

生平簡介

柯爾莫哥洛夫是前蘇聯數學家。 1903年4月25日生于俄羅斯頓巴夫市；1987年10月20日逝世。

柯爾莫哥洛夫的父親是位農藝師，母親在生他時不幸去世，他由其姨母撫養成人。柯爾莫哥洛夫1920年進入莫斯科大學學習，入大學前在鐵路上當過列車員。在莫斯科大學學習期間，師從于著名數學家盧津。柯爾莫哥洛夫聰敏好學，1922年2月他發表了集合運算方面的論文，推廣了蘇斯林的結果；同年6月，發表了一個幾乎處處發散的傅里葉級數（到1926年，他進而構造出了處處發散的傅里葉級數）。據他自己說，這個級數是他當列車售票員時在火車上想出的。這兩個例子對于數學家們來說都是完全出乎意料的，并引起了極大反響，從而也使他名聲鵲起。其后，他連續發表了許多研究成果。

柯爾莫哥洛夫1925年畢業于莫斯科大學，1929年研究生畢業，成為莫斯科大學數學研究所研究員。1930年6月到1931年3月訪問哥廷根、慕尼黑及巴黎。1931年任莫斯科大學教授，1933年任該校數學力學研究所所長。1935年獲物理數學博士學位，繼于1939年當選為蘇聯科學院院士，1966年當選為蘇聯教育科學院院士。他還被選為荷蘭皇家學會、英國皇家學會、美國國家科學院、法國科學院、羅馬尼亞科學院以及其它多個國家科學院的會員或院士，并獲得不少國外著名大學的榮譽博士稱號。

主要貢獻

柯爾莫哥洛夫是20世紀最有影響的數學家之一，對開創現代數學的好幾個分支都作出了重大貢獻。

柯爾莫哥洛夫是現代概率論的開拓者之一，柯爾莫哥洛夫與辛欣共同把實變函數的方法應用于概率論。1933年，柯爾莫哥洛夫的專著《概率論的基礎》出版，書中第一次在測度論基礎上建立了概率論的嚴密公理體系，這一光輝成就使他名垂史冊。因為這一專著不僅提出了概率論的公理定義，在公理的框架內系統地給出了概率論理論體系。而且給出并證明：相容的有限維概率分布族決定無窮維概率分布的“相容性定理”，解決了隨機過程的概率分布的存在問題；提出了現代的一般的條件概率和條件期望的概念并導出了他們的基本性質，使馬爾可夫過程以及很多關于隨機過程的概念得以嚴格地定義并論證。這就奠定了近代概率論的基礎，從而使概率論建立在完全嚴格的數學基礎之上。20世紀20年代，在概率論方面他還作了關于強大數律、重對數律的基本工作。他和辛欽成功地找到了具有相互獨立的隨機變量的項的級數收斂的必要充分條件。他成功地證明了大數法則的必要充分要件，證明了在項上加上極寬的條件時獨立隨機變量的重對數法則，得到了在獨立同分布項情形下強大數法則的必要充分條件。

柯爾莫哥洛夫是隨機過程論的奠基人之一。20世紀30年代，他建立了馬爾可夫過程的兩個基本方程， 他的卓越論文《概率論的解析方法》為現代馬爾可夫隨機過程論和揭示概率論與常微分方程及二階偏微分方程的深刻聯系奠定了基礎。他還創立了具有可數狀態的馬爾可夫鏈理論。他找到了連續的分布函數與它的經驗分布函數之差的上確界的極限分布，這個結果是非參數統計中分布函數擬合檢驗的理論依據，成為統計學的核心之一。

1949年，格涅堅科和柯爾莫哥洛夫發表了專著《相互獨立隨機變數之和的極限分布》，這是一部論述20世紀30年代以來，柯爾莫哥洛夫和辛欽等以無窮可分律和穩定律為中心的的獨立隨機變量和的弱極限理論的總結性著作。

在20世紀30—40年代之交，柯爾莫哥洛夫建立了希爾伯特空間幾何與平穩隨機過程和平穩隨機增量過程的一系列問題之間的聯系。給出了這兩種過程的譜表示，完整地研究了它們的結構以及平穩隨機過程的的內插與外推問題等。 他的平穩過程的結果（N.維納也得到平行的結果）創造了一個全新的隨機過程論的分支，在科學和技術上有廣泛的應用；而他的關于平穩增量隨機過程的理論對于各向同性湍流的研究有深刻的影響。20世紀60年代，他還將概率論用于研究語言學并取得了頗賦啟迪性的成果，即做詩的概率方法和用概率實驗法確定俄語語音的熵，他還開創了預報理論。

20世紀50年代中期，柯爾莫哥洛夫開創了研究函數特性的信息論方法。他引進了度量空間ε熵集的概論，從而得到了函數族與空間《度量地積》的評估方法。1956年他意外地發現：每一個不論是多少變元的連續函數都可以表示成三元連續函數的疊加。1957年，他的學生阿諾爾德證明了每個三元函數均可表示為二元函數的疊加，從而對于連續函數的情形，解決了希爾伯特第13個問題。 這進一步證明了不管是多少變元的連續函數都可以表示成一元（或多元）連續函數的疊加。20世紀60年代以后，他又創造了信息算法理論。

柯爾莫哥洛夫獨立地在拓撲學中引入了上邊緣或▽算子的概念。利用這個算子，他先是對復形，而后是對任何一緊空間創立了上同調群理論，對于許多拓撲問題的研究，其中包括與連續映射有關的研究，上同調群概念提供了很方便和很有效的方法。他還是同時具有拓撲結構和代數結構的空間理論（線性拓撲空間、拓撲環）研究的開創者之一，在拓撲空間中，有以他的姓氏命名的柯爾莫哥洛夫公理，即：對于相異二點x，y，至少存在一方，譬如x的領域，它不含有另一方，即y。

柯爾莫哥洛夫對動力系統理論貢獻亦豐。他開創了關于哈密頓系統的微擾理論與K（柯爾莫哥洛夫）系統的遍歷理論。 他把經典力學與信息論結合起來，在20世紀50年代，解決了非對稱重剛體高速旋轉的穩定性和磁力線曲面的穩定性。在他的工作基礎上，阿諾爾德和莫澤完成了以他們三人姓氏命名的KAM理論。他在動力系統與遍歷理論中引進了K熵，對于具有強隨機性動力系統的內部不穩定性問題的分析起了重要作用。

關于湍流內部結構的研究，柯爾莫哥洛夫等人提出的統計理論占主導地位，他還引入了局部各向同性湍性的概念，從物理的觀點對能量傳播進行了考察，并利用考察的結果和量綱分析推導出能譜函數，即在雷諾數很大的平衡領域中的能譜E（K）∝K-5/3（其中，K是在波數空間內球的半徑）。他的能譜函數目前已得到相當多的實驗根據。

柯爾莫哥洛夫在數學的許多分支都提出了不少獨創的思想，導入了嶄新的方法，構成了新的理論，對推動現代數學發展作出了卓越的貢獻。他的學術特點是把抽象的數學理論與自然科學實驗融為一體。他既是理論家又是實踐家， 他既是一個抽象的概率論公理學者，又是從事一般產品質量統計檢驗的研究人員。他既研究理論流體力學，又親自參加海洋考察隊。 柯爾莫哥洛夫也認為：“數學是現實世界中的數量關系與空間形式的科學”，“……因此數學的研究對象是來自現實之中的。然而作為數學加以研究時，必須離開現實素材（數學的抽象性）。但是，數學的抽象性并不意味著完全脫離現實素材”。他還認為：“數學的應用是多種多樣的，從原理上講數學方法的應用范圍是無邊際的，即物質的所有類型的運動都可以用數學加以研究。但是數學方法的作用與意義在不同情況下是不同的，用單一的模式來包羅現象的所有側面是不可能的。”

柯爾莫哥洛夫不但是杰出的數學家，而且是優秀的教育家，他指導過60多名博士和副博士。他認為在大學的數學教育中，好的教師應該是：

（1）講課高明，比如能用其它科學領域的例子來吸引學生；

（2）以清晰的解釋和寬廣的數學知識來吸引學生；

（3）善于作個別指導，清楚每個學生的能力，在其能力范圍內安排學習內容，使學生增強信心。

他還說：“只有那些自己對數學充滿熱情并且將之看成為一門活的發展科學的人，才能真正教好數學。”柯爾莫哥洛夫非常關心和重視基礎教育，并親自領導了中學數學教科書的編寫工作。他培養了許多優秀的數學家，如蓋爾范德、馬爾采夫、格涅堅科、阿諾爾德等。柯爾莫哥洛夫胸襟開闊，他總是具有把青年人吸引到他研究工作中去的魅力，并形成以他為首的學派。

柯爾莫哥洛夫的論著總計有230多種，涉及的領域包括實變函數論、測度論、集論、積分論、三角級數、數學基礎論、拓撲空間論、泛函分析、概率論、動力系統、統計力學、數理統計、信息論等多個分支。他的論著被譯成中文的有：《概率論的基礎》（商務印書館，1952年）、《函數論與泛函分析初步》（高等教育出版社，1957年）、《相互獨立隨機變數紙盒的極限分布》等。另外，他主編的《幾何》《數學·算術》也被譯成了中文，分別由人民教育出版社于1978年和高等教育出版社于1957年出版。

由于柯爾莫哥洛夫的卓越成就，他七次榮膺列寧勛章，并被授予蘇聯社會主義勞動英雄的稱號，他還是列寧獎金和國家獎金的獲得者。 1980年榮獲了沃爾夫獎，1986年榮獲了羅巴切夫斯基獎。